Diketahui \( (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = -2x+4 \) dengan \( f^{-1} \) dan \( g^{-1} \) berturut-turut adalah invers fungsi \(f\) dan \(g\). Jika \( f(x) = \frac{-x-2}{2x-10}, \ x \neq 5 \), maka \( g(6) = \cdots \)
- 8
- 12
- 16
- 18
- 24
Pembahasan:
Berdasarkan informasi yang diberikan dalam soal, kita peroleh berikut:
\begin{aligned} (g^{-1} \circ f^{-1})(x) &= -2x+4 \\[8pt] (f \circ g)^{-1}(x) &= -2x+4 \\[8pt] \text{misalkan} \ (f \circ g)^{-1}(x) &= y, \ \text{maka} \\[8pt] y &= -2x+4 \\[8pt] x &= \frac{4-y}{2} \\[8pt] (f \circ g)(x) = f(g(x)) &= \frac{4-x}{2} \end{aligned}
Dari hasil di atas, sekarang kita misalkan lagi \( g(x)=y \) dan dari soal diketahui \( f(x) = \frac{-x-2}{2x-10} \), sehingga diperoleh:
\begin{aligned} (f \circ g)(x) = f(g(x)) &= \frac{4-x}{2} \\[8pt] f(y) &= \frac{4-x}{2} \\[8pt] \frac{-y-2}{2y-10} &= \frac{4-x}{2} \\[8pt] -2y-4 &= (4-x)(2y-10) \\[8pt] -2y-4 &= 8y-40-2xy+10x \\[8pt] -2y-8y+2xy &= 10x-40+4 \\[8pt] y (-10+2x) &= 10x-36 \\[8pt] y &= \frac{10x-36}{2x-10} \\[8pt] y = g(x) &= \frac{10x-36}{2x-10} \\[8pt] g(6) &= \frac{10 \cdot 6-36}{2 \cdot 6-10} = \frac{24}{2} = 12 \end{aligned}
Jawaban B.